Distribución Ji-Cuadrada (X^2)

Distribución Ji-Cuadrada (X^2)

Instituto Tecnológico de Tijuana

Probabilidad y Estadística

Distribución Ji-Cuadrada (X^2)

Docente: Ángela Colunga Aldana

Alumno: Hernandez carrillo jorge andres

Tijuana, Baja California a 14 de noviembre de 2013

Distribución Ji-Cuadrada (X^2)

En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas. Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza , el estadístico:

tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:

donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

Los valores de X2 son mayores o iguales que 0. 

La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2. 

El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1. 

Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha. 

Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1). 

El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3). 

La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

La función de densidad de la distribución X2 esta dada por:

para x>0

La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadística de Walpole, la cual da valores críticos (gl) para veinte valores especiales de . Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el símbolo (gl); este valor crítico determina a su derecha un área de bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a o largo del lado superior de la misma tabla.

Problema

Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2. 

Solución:Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue: 

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2) 

Problema Excel

El siguiente valor 3 * 4 representa el tamaño de una tabla r * k. Determine el número de grados de libertad y obtenga el valores crítico en el niveles 0,05 de significación. 

Solución: 

los grados de libertad se calculan aplicando la fórmula: 

Grados de libertad = (r-1)(k-1) 

Grados de libertad = (3-1)(4-1) = 12 

 

Con lectura en la tabla con 12 grados de libertad y 0,05 de área se obtiene: 

X^2(Tabla) = 21.026 

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura: